Question

设函数f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），若f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）设g（x）=lnx-f（x），若g（x）≤-1对定义域内的x恒成立，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）对任意的θ∈[0，

π

2

），证明：g（1-sinθ）≤g（1+sinθ）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（1）=1可得结果；
（Ⅱ）（ⅰ）g（x）≤-1恒成立，等价于g（x）_max≤-1．由g（1）+1≤0可得a的范围，利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．
（ii）由（ⅰ）知，g（x）≤-1恒成立，实数a的取值范围为a≥1，令sinθ=t∈[0，1），构造函数p（t）=g（1+t）-g（1-t），只需证明p（t）≥0恒成立，利用导数进而转化为求函数p（t）的最小值问题，利用导数可求得；

解答：解：（Ⅰ）函数的导数为f′（x）=a-

b

x2

，
因为f（x）在点（1，f（x））处的切线斜率为1，
所以f′（1）=a-b=1，解得b=a-1；
（Ⅱ）因为g（x）=lnx-f（x），
所以g（x）=lnx-f（x）=lnx-（ax+

a-1

x

），
要使g（x）≤-1≤-1恒成立．则
（ⅰ）g（x）≤-1恒成立，等价于g（x）_max≤-1．
g（x）≤-1恒成立，则g（1）+1=-a-a+1+1≤0⇒a≥1．
当a≥1时，g′(x)=

-(ax+a-1)(x-1)

x2

=

-a[x-(-1+ 1 a )](x-1)

x2

=0⇒x=1，x=-1+

1

a

，
-1+

1

a

≤0，x²g′（x）≥0，则x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x） 单调递减，
则g（x）_max=g（1）=1-2a≤-1，符合题意，即g（x）≤-1恒成立．
所以，实数a的取值范围为a≥1．
（ⅱ）由（ⅰ）知，g（x）≤-1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．
令sinθ=t∈[0，1），考虑函数
p（t）=g（1+t）-g（1-t）=ln（1+t）-a（1+t）-

a-1

1+t

-[ln(1-t)-a(1-t)-

a-1

1-t

]=ln（1+t）-ln（1-t）-2at-（a-1）[

1

1+t

-

1

1-t

]，
p′(t)=

1

1+t

-

1

1-t

-2a+

a-1

(1+t)2

+

a-1

(1-t)2

=

2

1-t2

-2a+（a-1）[

1

(1+t)2

+

1

(1-t)2

]，
下证明p′（t）≥0，即证：

2

1-t2

-2a+（a-1）[

1

(1+t)2

+

1

(1-t)2

]≥0，即证明

1

1-t2

-a+(a-1)[

1+t2

(1+t)2(1-t)2

]≥0，
由

1

1-t2

≥1，即证1-a+（a-1）[

1+t2

(1+t)2(1-t)2

]≥0，
又a-1≥0，只需证-1+

1+t2

(1+t)2(1-t)2

≥0，即证1+t²≥（1+t）²（1-t）²?t⁴-3t²≤0?t²（t²-3）≤0，显然成立．
故p（t）在t∈[0，1）上单调递增，p（t）_min=p（0）=0，
则p（t）≥0，得g（1+t）≥g（1-t）成立，
则对任意的θ∈[0，

π

2

），g（1-sinθ）≤g（1+sinθ）成立．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，本题综合性强，运算量大，对能力要求较高．