Question

四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且，，．

（1） 在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ//平面PAD？证明你的结论；

（2） 求证：平面PBC⊥平面PC                     D．

 

Answer 1

（1） 解：当Q为侧棱PC中点时，有BQ//平面PA                                  D．

证明如下：如图，取PD的中点E，连AE、EQ．

∵Q为PC中点，则EQ为△PCD的中位线，

∴EQ//CD且．

∵AB//CD且，∴EQ//AB且EQ=AB，

∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ//AE．

∵平面PAD，平面PAD平面PAD，

∴平面PAD．

（2） 证：∵PA⊥底面ABCD，∴ PA⊥CD．

∵AD⊥CD，，∴CD⊥平面PAD．

∵平面PAD，∴ CD⊥AE．

∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．

∵，∴AE⊥平面PCD．

∵BQ//AE，∴BQ⊥平面PCD．

∵平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．