Question

（2013•绍兴一模）已知a为[0，1]上的任意实数，函数f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²，则以下结论：
①对于任意x₀∈R，总存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≥0；
②对于任意x₀∈R，总存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≤0；
③对于任意的函数f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），总存在x₀∈R，使得；f_i（x）f_j（x）＞0；
④对于任意的函数f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），总存在x₀∈R，使得；f_i（x）f_j（x）＜0．
其中正确的为

①④

．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²的符号变化规律，逐项检验即可得到答案，注意四个命题间的关系．

解答：解：①当x≤-1时，f₂（x）=-x²+1≤0，f₁（x）=x-a≤-1-a＜0，此时f₁（x）f₂（x）≥0；
当-1＜x≤1时，f₂（x）≥0，f₃（x）=-x³+x²=x²（1-x）≥0，此时f₂（x）f₃（x）≥0；
当x＞1时，f₂（x）=-x²+1＜0，f₃（x）=-x³+x²=x²（1-x）＜0，此时f₂（x）f₃（x）＞0；
综上，对于任意x₀∈R，总存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≥0，
故①正确；
②若a=0，当0＜x＜1时，f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，f₃（x）＞0，此时不存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≤0；
故②错误；
③当a=1时，f₁（x）=x-1，当x≤1时，f₁（x）≤0，f₃（x）≥0，当x＞1时，f₁（x）＞0，f₃（x）＜0，即对任意x总有f₁（x）f₃（x）≤0，
故③错误；
④对f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，
当x＞1时，f₁（x）＞0，f₂（x）＜0，∴f₁（x）f₂（x）＜0；
对f₁（x）=x-a，f₃（x）=-x³+x²，
当x＞1时，f₁（x）＞0，f₃（x）＜0，∴f₁（x）f₃（x）＜0；
对f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²，
当x＜-1时，f₂（x）＜0，f₃（x）＞0，∴f₂（x）f₃（x）＜0；
∴对于任意的函数f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），总存在x₀∈R，使得f_i（x）f_j（x）＜0．
故④正确；
故答案为：①④．

点评：本题考查函数恒成立、全称命题和特称命题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．