Question

已知a∈R，函数f（x）=x^m•|xⁿ-a|．
（1）若m=0，n=1，写出函数f（x）的单调递增区间（不必证明）；
（2）若m=1，n=1，当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由m=0，n=1，则f（x）=x^m•|xⁿ-a|=|x-a|，故可得到函数的单调递增区间为（a，+∞）；
（2）由m=1，n=1，则f（x）=x^m•|xⁿ-a|=x•|x-a|=

x2-ax，x＞a -x2+ax，x≤a

，当a＞2时，函数y=f（x）=-x²+ax的对称轴为x=

a

2

，通过判断

a

2

与[1，2]的位置关系得到函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值即可．

解答：解：（1）由m=0，n=1，则f（x）=x^m•|xⁿ-a|=|x-a|=

x-a，x＞a -x+a，x≤a

，故可得到函数的单调递增区间为（a，+∞）；
（2）由于m=1，n=1，则f（x）=x^m•|xⁿ-a|=x•|x-a|=

x2-ax，x＞a -x2+ax，x≤a

，
故当a＞2时，函数y=f（x）=-x²+ax的对称轴为x=

a

2

，
①当1＜

a

2

≤2，即2＜a≤4时，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（

a

2

）=

a2

4

；
②当

a

2

＞2，即a＞4时，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=2a-4．
综上，当2＜a≤4时，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为

a2

4

，
当a＞4时，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为2a-4．

点评：本题考查去绝对值号的方法，利用导数求函数单调区间的方法，体现了数形结合及分类讨论的数学思想．