题目内容
已知函数f(x)在（-1，1）上有定义，f(
)=-1,当且仅当0＜x＜1时，f(x)＜0，且对任意x、y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y)=f(
),试证明：（1）f(0)=0且f(x)为奇函数；
（2）若数列{xn}满足x1=
,xn+1=
,求f(xn)；
（3）在（2）的条件下，求
.
证明：（1）令x=y=0,由f(x)+f(y)=f（)，得f(0)=0.
又令y=-x，则f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x）.
∴f(x)为奇函数.
（2）∵x1=＞0，xn+1=，易知xn+1＞0,
即xn＞0,且xn≠1，xn+1=＜=1,
∴f(xn+1)=f(
)=f(xn)+f(xn)=2f(xn).
∴{f(xn)}是以f(x1)=f(
)=-1为首项，2为公比的等比数列.
∴f(xn)=-2n-1.
（3）
=
=
=2.
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