Question

已知函数地f（x）的定义域是{x|x∈R，Z}，且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间Z）上的解析式．

Answer 1

解：（1）由，
得，
所以f（x）是周期为2的函数．
∴f（x）+f（2-x）=0，
即为f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数．
（2）当x∈（）时，
由，
知f（x）=f[1+（x-1）]
=-
=
=．
所以，当x∈（2k+，2k+1），k∈Z）时，
f（x）=f（x-2k）
=．
分析：（1）由能导出f（x）是周期为2的函数．由此能够证明f（x）是奇函数．
（2）当x∈（）时，f（x）=f[1+（x-1）]=-==．由此能够求出f（x）在区间Z）上的解析式．
点评：本题证明函数是奇函数，求函数的解析式，解题时要认真审题，注意函数的周期性、奇偶性的灵活运用．