Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在上的最值；

（2）令，若时， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）当且时，证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）证明过程见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据曲线在点处的切线斜率为1，可求出参数的值，再对导函数在的正负，求出在上单调性，即可求出 的最值；（Ⅱ）由，构造辅助函数，再对进行求导，讨论的取值范围，利用函数单调性判断函数的最值，进而确定的取值范围；（Ⅲ）构造辅助函数，求导，求出在的单调性，可求出的最小值，即可证明不等式成立.

试题解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，

∴，记，∴，令得．

当时， 单减；当时， 单增，

∴，

故恒成立，所以在上单调递增，

∴．

（Ⅱ）∵，∴．

令，∴，

当时， ，∴在上单增，∴．

（i）当即时， 恒成立，即，∴在上单增，

∴，所以．

（ii）当即时，∵在上单增，且，

当时， ，

∴，使，即．

当时， ，即单减；

当时， ，即单增．

∴，

∴，由，∴，记，

∴，∴在上单调递增，

∴，∴，

综上， ．

（Ⅲ）等价于，

即．

∵，∴等价于．

令，

则．

∵，∴．

当时， ， 单减；

当时， ， 单增．

∴在处有极小值，即最小值，

∴，

∴且时，不等式成立．