Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n＞0，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）在数列的递推式中取n=n+1得另一递推式，两式相减整理得到数列{a_n}为等差数列，且求出等差数列的公差，然后代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

an

2n

，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由2S_n=2a_n²+a_n-1，得2Sn+1=2an+12+an+1-1．
两式相减得：2a_n+1=2（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）+（a_n+1-a_n）⇒
（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0
∵a_n＞0，∴2a_n+1-2a_n-1=0，∴an+1=an+

1

2

．
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列
∴an=

n+1

2

；
（ 2 ）由bn=

an

2n

=

n+1

2n+1

则Tn=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

T_n=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

．②
①-②得：

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 ×(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，
所以Tn=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．