Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一个周期内，当x=

π

6

时，y取最小值1；当x=

2π

3

时，y最大值3．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求f（x）在区间[π，

3π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易知A=1，b=2，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，利用当x=

2π

3

时，y最大值3求φ．
（II）由（Ⅰ）求得f(x)=sin(2x-

5π

6

)+2．将2x-

5π

6

视为整体，求出其取值范围，再利用三角函数的性质求解．

解答：解：（I）∵在一个周期内，当x=

π

6

时，y取最小值1；当x=

2π

3

时，y最大值3．
∴A=1，b=2，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，
∴A=1，T=π，ω=2，
所以f（x）=sin（2x+φ）+2，（3分）
由当x=

2π

3

时，y最大值3，得sin(

4π

3

+φ)=1，

4π

3

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，即φ=2kπ-

5π

6

，
∵|φ|≤π，
∴φ=-

5

6

π，
∴f(x)=sin(2x-

5π

6

)+2（6分）
（II）∵x∈[π，

3π

2

]，
∴

7π

6

≤2x-

5π

6

≤

13π

6

（8分）
∴当x=

3π

2

时，f（x）取最大值

3

2

；                        （10分）
当x=

7π

6

时，f（x）取最小值1．（12分）

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查分析、计算能力．