Question

阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin （α- β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+ ②得sin （α+β）+sin （α- β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α- β=B
有α=，β=
代入③得。
（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin；
（Ⅱ）若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos2A-cos2B=2sin2C ，试判断△ABC 的形状。
（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，①
cos（α- β）=cosαcosβ+sinαsinβ，②
①- ②得cos（α+β）-cos（α- β）=-2sinαsinβ③
令α+β=A，α-β=B
有，，
代入③得cosA-cosB=
（Ⅱ）由二倍角公式，cos2A-cos2B=2sin2C
可化为1-2sin²A-1+2sin²B=2sin²C
即sin²A+sin²C=sin²B
设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
由正弦定理可得a²+c²=b²
根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形。