Question

已知函数f(x)=x+

a

x

+2，x∈[1，+∞)．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用函数单调性的定义，设1≤x₁＜x₂，利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明函数f（x）为单调减函数，再利用单调性求函数最值即可；
（II）根据题意：“对任意x∈[1，+∞)，f(x)=

x2+2x+a

x

＞0恒成立”转化为“只需对任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立”．再设g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），利用二次函数的性质求出最小值，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=x2+

a

x2

+2-x1-

a

x1

-2=(x2-x1)(1-

a

x1x2

)，…（2分）
当a=

1

2

时，f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-

1

2x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，∴x2-x1＞0，1-

1

2x1x2

＞0，恒成立
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，f（x）取得最小值为f(1)=1+

1

2

+2=

7

2

，
∴f（x）的值域为[

7

2

，+∞)．
（Ⅱ）f(x)=x+

a

x

+2可变为f(x)=

x2+2x+a

x

，
∵对任意x∈[1，+∞)，f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，恒成立
∴只需对任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立．
设g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的对称轴为x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．

点评：本题主要考查了函数单调性的定义，利用定义证明函数的单调性的方法和步骤，作差法比较大小，代数变形能力，属中档题．