Question

已知点P是曲线y=lnx上的一个动点，则点P到直线l：y=x+2的距离的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  3 2

  2

• D、2

  2

Answer 1

分析：当曲线上过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x+2的距离即为所求．

解答：解：当过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．
由题意可得，y′=

1

x

，令

1

x

=1，
∴x=1，
∴曲线y=lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，0），
点（1，0）到直线y=x+2的距离d=

|1-0+2|

1+(-1)2

=

3 2

2

，
∴点P到直线y=x+2的最小距离为

3 2

2

，
故选：C．

点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．