题目内容

已知等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，设数列{b_n}满足对任意自然数n都有 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ +┅+ $数学公式$ =2n+1恒成立．
（1）求数列{b_n}的通项公式；　（2）求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁的值．

解：（1）∵对任意正整数n，有 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +┅+ $\text{[math]}$ =2n+1，①
∴当n≥2时， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +┅+ $\text{[math]}$ =2n-1，②…（4分）
①-②得 $\text{[math]}$ ；故 b_n=2a_n=2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
当n=1时， $\text{[math]}$ ，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴ $\text{[math]}$ ． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）
分析：（1）把已知条件中的n换成n-1得到②，相减可得 $\text{[math]}$ ，再由a_n=3^n-1求出数列{b_n}的通项公式．
（2）要求的式子即 3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰，利用等比数列的前n项和公式，求出要求式子的值．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，求得 $\text{[math]}$ ，是解题的关键，属于中档题．