题目内容
（2012•昌平区一模）已知数列{an}满足a1=1，点（an，an+1）在直线y=2x+1上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=a1，
=
+
+…+
(n≥2，n∈N*)，求bn+1an-（bn+1）an+1的值；
（3）对于（2）中的数列{bn}，求证：(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜
b1b2…bn（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=a1，
| bn |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
（3）对于（2）中的数列{bn}，求证：(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜
| 10 |
| 3 |
分析：（1）利用点（an，an+1）在直线y=2x+1上，可得an+1+1=2（an+1），从而可得{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；
（2）确定
=
+
，即可求bn+1an-（bn+1）an+1的值；
（3）由（2）可知，
=
（n≥2），b2=a2，证明(1+
)(1+
)…(1+
)＜
即可．
（2）确定
| bn+1 |
| an+1 |
| bn |
| an |
| 1 |
| an |
（3）由（2）可知，
| bn+1 |
| bn+1 |
| an |
| an+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 10 |
| 3 |
解答：（1）解：∵点（an，an+1）在直线y=2x+1上，
∴an+1+1=2（an+1）
∴{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴an=2n-1；
（2）解：
=
+
+…+
(n≥2，n∈N*)
∴
=
+
∴bn+1an-（bn+1）an+1=0
n=1时，b2a1-（b1+1）a2=-3；
（3）证明：由（2）可知，
=
（n≥2），b2=a2
∴(1+
)(1+
)…(1+
)=
•
•
•…
•bn+1
=
•
•
•
•…
•bn+1=2
=2（
+
+…+
）
∵k≥2时，
=2(
-
)
∴
+
+…+
=1+
+…+
＜1+2[（
-
）+…+（
-
）]=1+2（
-
）＜
∴(1+
)(1+
)…(1+
)＜
∴(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜
b1b2…bn．
∴an+1+1=2（an+1）
∴{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴an=2n-1；
（2）解：
| bn |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an-1 |
∴
| bn+1 |
| an+1 |
| bn |
| an |
| 1 |
| an |
∴bn+1an-（bn+1）an+1=0
n=1时，b2a1-（b1+1）a2=-3；
（3）证明：由（2）可知，
| bn+1 |
| bn+1 |
| an |
| an+1 |
∴(1+
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| b1 |
| b1+1 |
| b2 |
| b2+1 |
| b3 |
| bn+1 |
| bn+1 |
=
| 1 |
| b1 |
| b1+1 |
| b2 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
| a4 |
| an |
| an+1 |
| bn+1 |
| an+1 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
∵k≥2时，
| 1 |
| 2k-1 |
| 1 |
| 2k-1 |
| 1 |
| 2k+1-1 |
∴
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 22-1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
| 5 |
| 3 |
∴(1+
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn |
| 10 |
| 3 |
∴(1+b1)(1+b2)…(1+bn)＜
| 10 |
| 3 |
点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明．考查学生分析解决问题的能力，考查裂项求和法，综合性强．
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