题目内容

如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)

(A) (B) (C) (D)

【答案】

D

【解析】由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4,

|F1F2|=2=2,

因为四边形AF1BF2为矩形,

所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,

所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,

所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=12-4=8,

所以|AF2|-|AF1|=2,

因此对于双曲线有a=,c=,

所以C2的离心率e==.

故选D.

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（2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C₁：

=1与双曲线C₂：9x2-

=1有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=

-12(x-4) (3＜x≤4)

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（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0≤x≤

）与第（1）小题椭圆弧E₂：

≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求

的取值范围．

如图，F₁，F₂为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=

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（1）求椭圆C的标准方程；
（2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

（1）设椭圆C₁： $数学公式$ 与双曲线C₂： $数学公式$ 有相同的焦点F₁、F₂，M是椭圆C₁与双曲线C₂的公共点，且△MF₁F₂的周长为6，求椭圆C₁的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为 $数学公式$ ．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d₁，M到直线l：x=3的距离为d₂，求证：d₁+d₂为定值；
（3）由抛物线弧E₁：y²=4x（0 $数学公式$ ）与第（1）小题椭圆弧E₂： $数学公式$ （ $数学公式$ ）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r₁；并求 $数学公式$ 的取值范围．