Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax，其中a为不大于零的常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）利用求导法则求出函数f（x）的导函数，把导函数解析式通分化简，根据a为不大于零的常数，分a=0，a小于等于-1，以及a大于0小于-1三种情况分别讨论导函数的正负，并利用二次函数的图象与性质，进而确定函数的单调性；
（2）令a=-1，代入函数解析式，由第一问当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，可得a=-1时，函数为减函数，故当x大于0时，f（x）小于f（0），而f（0）=0，故f（x）小于0，即ln（1+x²）＜x，所证不等式左边取为e为底数的对数，利用对数的运算性质化简，并根据ln（1+x²）＜x变形，再利用等比数列的前n项和公式化简，得出其中小于1，最后再根据对数的运算性质即可得证．

解答：解：（1）f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

，（1分）
①当a=0时，∵f'（x）＞0?2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0?2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；（3分）
②当

a＜0 △≤0

，即a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；（5分）
③当-1＜a＜0时，∵f′（x）＞0?ax²+2x+a＞0?

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
f′（x）＜0?ax²+2x+a＜0?x＜

-1+ 1-a2

a

或x＞

-1- 1-a2

a

，
∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减；  （7分）
综上所述，当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当-1＜a＜0时，f（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减．
当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减；（8分）
（2）由（1）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x²）＜x，（10分）
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)＜

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1=lne，
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e（14分）

点评：此题考查了求导法则，等比数列的前n项和公式，利用导函数的正负判断函数的单调性，二次函数的性质，不等式的证明，函数单调性的应用，以及对数的运算性质，利用了转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的中档题．