Question

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，P为椭圆上一动点．F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l与圆x²+y²=1相切且与椭圆C相交于A、B两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出椭圆的方程，利用离心率和a，b与c的关系求得a和b的关系，根据椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△PF₁F₂的面积最大，进而求得bc的关系，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）先对直线l的斜率分类讨论，当直线l的斜率不存在时，求出的值；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，联立l与椭圆C的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得的取值范围，从而解决问题．
解答：解：（I）设椭圆C₁的方程为+=1（a＞b＞0），c=，
则 =，所以a=2b、
由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，
△PF₁F₂的面积最大，故|F₁F₂|b=bc=，
解得a=2，b=．
故所求椭圆方程为=1．
（II）当直线l的斜率不存在时，因l与与圆x²+y²=1相切，∴l：x=1，此时A（1，），
B（1，-），∴=1-=；
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，因l与与圆x²+y²=1相切，∴，整理得m²=k²+1，
联立l与椭圆C的方程，消去y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=48（4k²+3-m²）=48（3k²+2）＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-，
x₁x₂=，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=
∴=x₁x₂+y₁y₂=+==--
∵4k²+3≥3，
∴0＜，-≤＜-．
综上，的取值范围是[-，-]．
点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．