Question

18．设曲线（2x+y-4）（x-y-2）=0与抛物线y=-$\frac{1}{8}$x²的准线围成的三角形区域（包含边界）为m，则z=$\frac{y}{x+1}$的最大值是1．

Answer 1

分析 作出出三角形区域，z的几何意义是区域内的点到定点D（-1，0）的斜率，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由（2x+y-4）（x-y-2）=0得2x+y-4=0或x-y-2=0，
抛物线的标准方程为x²=-8y，准线方程为y=2，
作出对应的区域如图：
z=$\frac{y}{x+1}$的几何意义是区域内的点到定点D（-1，0）的斜率，
由图象知AD的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
则z=$\frac{y}{x+1}$的最大值是z=$\frac{2}{1+1}$=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用条件作出对应区域，结合直线斜率公式是解决本题的关键．