Question

设函数f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，当a=1时写出函数式，对函数求导，f′（x）＞0，得到f（x）在（1，+∞）上递增，得到函数的增区间．
（2）利用（1）的单调性，求出函数f（x）的极值，进一步求出函数的最值，得到参数a的范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1

2a

x2-lnx(x＞0)，其中a为非零常数，
当a=1时，f（x）=

1

2

x2-lnx
f′(x)=x-

1

x

＞0，
∴当x＞1时，函数是一个增函数，
即函数的递增区间是（1，+∞）
（2）当x属于[1，2]，lnx＞0，
当a＞0时，命题可转化为对于任意x属于[1，2]，都有a＜

x2

2(2+lnx)

令g（x）=

x2

2(2+lnx)

，对函数求导得g′(x)=

6x+4xlnx

4(2+lnx)2

=0
∴x=e-

3

2

时，导数等于零，
经验证这是函数的极小值，
在这个闭区间上也是最小值，
∴g（x）的最小值是g（e-

3

2

）=e^-3
即当a为大于0常数且小于e^-3时，不等式f（x）＞2恒成立，
当a＜0时，

1

2a

＞

lnx+2

x2

在x属于[1，2]时，不合题意．
综上可知a的取值范围是（0，e^-3）

点评：利用导数求函数的在区间上的最值，应该先求出导函数，判断出导函数的符号得到函数的单调性，求出函数的极值，同时求出函数的区间端点值，选出最值．