题目内容

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足f（0）=-1，对任意x∈R都有f（x）≥x-1，且 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使函数 $数学公式$ 在（-∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

解：（1）由f（x）=ax²+bx+c（a≠0）及f（0）=-1∴c=-1 …
又对任意x∈R，有 $\text{[math]}$ ．
∴f（x）图象的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ ，则- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，∴a=b …
又对任意x∈R都有f（x）≥x-1，
即ax²+（b-1）x≥0对任意x∈R成立，
∴ $\text{[math]}$ ，故a=b=1 …
∴f（x）=x²+x-1 …
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a²+a-1）^x，其定义域为R…
令u（x）=（a²+a-1）^x
要使函数g（x）= $\text{[math]}$ （a²+a-1）^x在（-∞，+∞）上为减函数，
只需函数u（x）=（a²+a-1）^x在（-∞，+∞）上为增函数，…
由指数函数的单调性，有a²+a-1＞1，解得a＜-2或a＞1 …
故存在实数a，当a＜-2或a＞1时，函数 $\text{[math]}$ 在（-∞，+∞）上为减函数…
分析：（1）根据f（0）=-1可求出c的值，根据 $\text{[math]}$ 可得a与b的关系，最后根据对任意x∈R都有f（x）≥x-1，可求出a与b的值，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）令u（x）=f（a），要使函数 $\text{[math]}$ 在（-∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=f（a）在（-∞，+∞）上为增函数，由指数函数的单调性可得a的取值范围．
点评：本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，以及复合函数的单调性的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．