Question

已知函数f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（1）若a＜0且b=2-a，试讨论f（x）的单调性；
（2）若对?b∈[-2，-1]，总?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则，可得f′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；
（2）由题意知，问题转化为ax²-x-lnx＜0在（1，e）内有解，即a＜

lnx+x

x2

在（1，e）内有解，故只需a＜(

lnx+x

x2

)max即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=2ax+(2-a)-

1

x

=

2ax2+(2-a)x-1

x

=

(ax+1)(2x-1)

x

（x∈（0，+∞）），
令f′（x）=0，解得 x=-

1

a

或x=

1

2

①当-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2时，
令f′（x）＞0，解得-

1

a

＜x＜

1

2

，
故f（x）的增区间为(-

1

a

，

1

2

)，减区间为(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)；
②当-

1

a

=

1

2

，即a=-2时，则f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
③当-

1

a

＞

1

2

，即a＞-2时，
令f′（x）＞0，解得

1

2

＜x＜-

1

a

，
故f（x）的增区间为(

1

2

，-

1

a

)，减区间为(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)；
（2）对?b∈[-2，-1]，都?x∈（1，e）ax²+bx-lnx＜0成立，
即ax²-x-lnx＜0在（1，e）内有解，亦即a＜

lnx+x

x2

在（1，e）内有解，
故只需a＜(

lnx+x

x2

)max即可，
令g(x)=

lnx+x

x2

，则g′(x)=

-x(x-1+2lnx)

x4

∵x∈（1，e）∴g′（x）＜0
∴a＜g（1）=1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题的研究，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．