Question

已知方程x²+-=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a²）、B（b，b²）的直线与圆x²+y²=1的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．随θ值的变化而变化

Answer 1

【答案】分析：由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b和ab，然后根据点A和B的坐标求出直线AB的斜率，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，根据中点坐标和求出的斜率写出直线AB的方程，根据圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，化简后把表示出的a+b和ab代入即可求出值为1，与圆的半径相等，进而得到直线AB与圆的位置关系是相切．
解答：解：由a和b为方程x²+-=0的两个不等的实根，
得到a+b=-，ab=-，
又A（a，a²）、B（b，b²），
得到直线AB的斜率k==a+b，线段AB的中点坐标为（，）
所以直线l_AB：y=（b+a）（x-）+．
由圆x²+y²=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，
则圆心到直线AB的距离d==
===1=r．
所以直线AB与圆的位置关系是相切．
故选B
点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及中点坐标公式化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判断方法，是一道中档题．