Question

已知正方体ABCD-A，B1C1D1中．
（1）求异面直线ABCD与A₁B₁C₁D₁所成角的大小
（2）求证：BD⊥A₁C；
（3）求三棱锥C₁-A₁BD的体积．

Answer 1

分析：（1）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题由于四边形CDA₁B₁是平行四边形∴A₁D∥B₁C，即用第一种方法较为简单．
（2）欲证明直线与直线垂直，可以先证明直线与平面垂直．由BD⊥平面AA₁C，可得BD⊥A₁C
（3）利用割补法易得：V_C-ABD=V_ABCD-_ABCD-4V_A-ABD

解答：解：（1）连接A₁D，A₁B，知四边形CDA₁B₁是平行四边形
∴A₁D∥B₁C，∴∠A₁DB或其补角是异面直线BD与B₁C所成的角（2分）
又∵A₁D=A₁B=BD=

2

a，∴∠A₁DB=60°（3分）
∴异面直线BD与B₁C所成的角是60°（4分）
（2）证明：由正方体知：⊥

A1A⊥底面ABCD   BD∈底面ABCD

?

A1A⊥BD 又AC⊥BD A1A∩AC=A

?

BD⊥面AA1C A1C?面AA1C

?BD⊥AC₁
（3）解：V_A-ABD═

1

3

×S_△ABD×AA₁=

1

3

×

1

2

×a×a×a=a³（10分）
V_C-ABD=V_ABCD-_ABCD-4V_A-ABD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．