Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n时，有

f(m)-f(n)

m-n

＞0
（1）若满足f（x+

1

2

）+f（x-1）＜0，求x的取值范围
（2）若f（x）≤t²-2at+1对任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先用定义判断f（x）在[-1，1]上的单调性，由函数的单调性、奇偶性可去掉不等式中的符号“f”，解出即可；
（2）对任意的x∈[-1，1]不等式恒成立，等价于f（x）_max=f（1））≤t²-2at+1，对任意a∈[-1，1]恒成立，可看作关于a的一次函数，借助图象可得关于a的不等式组，解出即可；

解答：解：（1）∵f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，
m、n∈[-1，1]，m≠n时，有

f(m)-f(n)

m-n

＞0．
∴任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂≥x₁，
则f（x₂）-f（x₁）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

•(x2-x1)＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
∵f（x+

1

2

）+f（x-1）＜0，即f（x+

1

2

）＜f（1-x），
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤x-1≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，解得0≤x≤

1

4

，
∴x的取值范围为[0，

1

4

）．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at+1≥1对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
把y=t²-2at看作a的函数，
由a∈[-1，1]，知其图象是一条线段，
∴t²-2at≥0对任意a∈[-1，1]恒成立，
∴有

t2-2×(-1)×t≥0 t2-2×1×t≥0

，即

t2+2t≥0 t2-2t≥0

，
解得t≤-2，或t=0，或t≥2．
故实数t的取值范围是{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}．

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查不等式解集的求法，考查转化思想、数形结合思想．解题时要认真审题，注意定义法、等价转化思想、构造法的合理运用