Question

已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a＞b＞0），A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．
（1）求证：为定值；
（2）求△AOB面积的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可利用直线OA，OB方程与椭圆方程联立求A，B点坐标满足的一元方程，进而求出A，B的横纵坐标的平方，代入
，化简即可．
（2）由S_△AOB=|OA||OB|，=，可根据均值不等式求最小值，再根据S_△²AOB=
，把|OB|²转化为|OA|²，再根据椭圆中，|OA|范围即可求出面积最大值．
解答：解：（1）设椭圆方程为，设当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为y=kx，
∵A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB．∴直线OB方程为y=-x
设A（x1，y1），b（x2，y2），把y=kx代入得，∴
把y=-x代入，得  ，∴                        
  =+=+
=
当直线OA，OB其中一条斜率不存在时，则另一条斜率为0此时==
综上，为定值

   （2）S_△AOB=|OA||OB|，∴S_△²AOB=|OA|²|OB|²
由（1）知=≥2=
∴S_△AOB=|OA||OB|≥，∴．
∵S_△²AOB=|OA|²|OB|²=|OA|²
=，随着|OA|的增加，此函数值在增加
∵|OA|≤a，∴S_△²AOB≤=a²b²
∴
综上，
点评：本题考查了椭圆中定植问题和最值问题，与不等式联系，题目较难，应认真分析题意．