Question

设a＞0，0≤x≤2π，如果函数y=cos²x-asinx+b的最大值是0，最小值是-4，求常数a与b．

Answer 1

分析：通过平方关系，配方法，对a分类0＜a≤2，a＞2讨论，结合函数的最值，求出a，b的值即可．

解答：解：f（x）=y=cos²x-asinx+b=-sin²x-asinx+b+1=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1
因为a＞0所以-

a

2

＜0，
（ⅰ）当0＜

a

2

≤1，即0＜a≤2时y_max=f(-

a

2

)=

a2

4

+b+1=0①
y_min=f（1）=b-a=-4②
由①②解得

a=2 b=-2

或

a=-6 b=-10

（舍去）
（ⅱ）当

a

2

＞1，即a＞2时y_max=f（-1）=a+b=0③
y_min=f（1）=b-a=-4④
由③④解得

a=2 b=-2

（舍去）
综上，

a=2 b=-2

点评：本题是中档题，考查三角函数的最值的应用，考查分类讨论思想，配方法的应用，注意三角函数的有界性，是本题的关键．