Question

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F(1，0)，C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点。
(Ⅰ)写出抛物线C₂的标准方程；
(Ⅱ)若，求直线l的方程；
(Ⅲ)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意，抛物线C₂的方程为：y²=4x。
(Ⅱ)设直线AB的方程为：y=k（x-4）(k存在且k≠0)，
联立，消去x，得ky²-4y-16k=0，
显然△=16+64k²＞0，
设A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，则，  ①
y₁·y₂=-16，    ②
又，所以，，③
由①②③消去y₁，y₂，得k²=2，
故直线l的方程为y=x-4或y=-x+4。
(Ⅲ)设P(m，n)，则OP中点为，
因为O，P两点关于直线y=k(x-4)对称，
所以，，
即，解得：，
将其代入抛物线方程，得：，
所以，k²=1，
联立，消去y，得
(b²+a²k²)x²-8k²a²x+16a²k²-a²b²=0，
由△=(-8k²a²)²-4(b²+a²k²)(16a²k²-a²b²)≥0，
得16a²k⁴-(b²+a²k²)(16k²-b²)≥0，
即a²k²+b²≥16k²，
将k²=1，b²=a²-1代人上式并化简，得 2a²≥17，所以，
即2a≥，
因此，椭圆C₁长轴长的最小值为。