Question

.如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心O（PO>OQ）.（1）若二面角P-AB-Q的正切值为－3，试确定O在线段PQ的位置；（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解：（1）取线段AB的中点为点E,则

设，,，

故，

由,

得：

 ∵PO>OQ   ∴

故在线段PQ上的靠近Q点的三分点位置;

（2）几何体PABCDQ存在内切球,令球心为，

设线段CD的中点为点F,内切球的半径为，由对称性可知：平面四边形PEQF的内切圆的半径即为,故

所以,得

由三角形相似有：

所以故其内切球心在点P距离为的位置上.

（注：也可用分割体积法求）