Question

已知函数f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）判断f（x）在区间[2，3]上的单调性；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式可知，二次函数f（x）的图象开口向上，对称轴x=1，可得函数f（x）在区间[2，3]单调递增．
（2）根据函数f（x）在区间[2，3]单调递增，函数的最大值5，最小值2，可得

f(2)=2 f(3)=5

，由此解得a和b的值，可得函数f（x）的解析式．
（3）根据g（x）=x²-（2+m）x+2在[2，4]上是单调函数，可得1+

m

2

≤2或 1+

m

2

≥4，由此求得m的范围．

解答：解：（1）由f（x）=a（x-1）²+2+b-a，（a＞0）可知，
f（x）的图象开口向上，对称轴x=1，故函数f（x）在区间[2，3]单调递增，…（3分）
（2）根据函数f（x）在区间[2，3]单调递增，函数的最大值5，最小值2，可得

f(2)=2 f(3)=5

，
即

2+b=2 3a+2+b=5

，解得：a=1，b=0，…（7分）
故函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x+2．…（8分）
（3）由于函数g（x）=x²-（2+m）x+2在[2，4]上是单调函数，
而函数g（x）=x²-（2+m）x+2的对称轴为 x=-

-(2+m)

2

=1+

m

2

，
故只需1+

m

2

≤2，或1+

m

2

≥4，求得m≤2，或m≥6，
故m的范围为（-∞，2]∪[6，+∞）．…（14分）

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的判断和正明，二次函数的性质的应用，属于中档题