题目内容

设F₁、F₂分别为双曲线 $数学公式$ 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF₂=F₁F₂，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________．

4x±3y=0
分析：过F₂点作F₂Q⊥PF₁于Q点，得△PF₁F₂中，PF₂=F₁F₂=2c，高F₂Q=2a，PQ= $\text{[math]}$ PF₁=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到 $\text{[math]}$ 的值，得到该双曲线的渐近线方程．
解答：

∵PF₂=F₁F₂=2c，
∴根据双曲线的定义，得PF₁=PF₂+2a=2c+2a
过F₂点作F₂Q⊥PF₁于Q点，则F₂Q=2a，
等腰△PF₁F₂中，PQ= $\text{[math]}$ PF₁=c+a，
∴ $\text{[math]}$ =PQ²+ $\text{[math]}$ ，即（2c）²=（c+a）²+（2a）²，
解之得a= $\text{[math]}$ c，可得b= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ c
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得该双曲线的渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x，即4x±3y=0
故答案为：4x±3y=0
点评：本题给出双曲线的焦点三角形是以焦距为一腰的等腰三角形，底边上的高等于实轴，求双曲线的渐近线方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

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