Question

（2010•衢州一模）已知P（-4，-4），点Q是离心率为

2

2

且焦点在x轴上的椭圆x²+my²=16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足

PM

=

1

3

MQ

，则动点M的轨迹方程是

（x+3）²+2（y+3）²=1

．

Answer 1

分析：先确定椭圆的方程，再确定M，Q坐标之间的关系，利用椭圆的方程，即可得出结论．

解答：解：∵椭圆焦点在x轴上的x²+my²=16的离心率为

2

2

，
∴

16- 16 m

16

=

1

2

∴m=2
∴椭圆的方程为

x2

16

+

y2

8

=1
设M（x，y），Q（a，b），则
∵

PM

=

1

3

MQ

，P（-4，-4），
∴(x+4，y+4)=

1

3

(a-x，b-y)
∴a=4x+12，b=4y+12
∵

a2

16

+

b2

8

=1
∴

(4x+12)2

16

+

(4y+12)2

8

=1
∴（x+3）²+2（y+3）²=1．
故答案为：（x+3）²+2（y+3）²=1

点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．