Question

已知函数f（x）=，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，则a₁=    ．

Answer 1

【答案】分析：函数f（x）=，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），可得a_n+2=，因为a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，可得a₂₀₁₃==a₂₀₁₁，说明a₂₀₁₁也是方程x²-x-1=0的根，求出a₂₀₁₁，利用此信息进行求解；
解答：解：∵知函数f（x）=，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），
∴a_n+2=，
取n=2011，a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，a_n+2=，
可得a₂₀₁₃==a₂₀₁₁，所以（a₂₀₁₁）²-a₂₀₁₁-1=0，
∴a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，a₂₀₁₁＞0
∴a₂₀₁₁=，
∵a_n+2=，
∴a₂₀₀₉====，
a₂₀₀₇==
a₂₀₀₆==
依此类推可得
∴a₁==
故答案为：；
点评：此题主要考查数列的函数特性，注意利用好a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，证明a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，此题是一道基础题；