题目内容

设函数y=f(x)定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1。

（1）求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；

（2）求证：f(x)在R上递减。

答案：
解析：

（1）在f(m+n)=f(m)·f(n)中令m=1，n=0.

得f(1)=f(1)f(0)，

∵ 0＜f(1)＜1，∴f(0)=1.

设x＜0，则－x＞0，令m=x，n=－x代入f(m+n)=f(m) f(n)，得f(0)=f(x)f(－x)=1，

∵0＜f(－x)＜1，所以f(x)＞1。

（2）设x1＜x2，则x2－x1＞0。

∴0＜f(x2－x1)＜1。再令m=x，n= x2 －x1代入f(m+n)=f(m)·f(n)，得f(x2)=f(x1)·f(x2－x1)，∴0＜＜1。

又∵f(x1)＞0，∴f(x2)＜f(x1)。

∴f(x)在R上是减函数。


练习册系列答案
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设函数y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)的图象过点（0，-1）且与直线y=-1有且只有一个公共点；设点P（x0，y0）是函数y=f（x）图象上任意一点，过点P分别作直线y=x和直线x=1的垂线，垂足分别是M，N．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
（3）证明：线段PM，PN长度的乘积PM•PN为定值；并用点P横坐标x0表示四边形QMPN的面积．．
设函数f(x)=ax+
1x+b
(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

（本小题满分12分）

设函数f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=3。

（Ⅰ）求f(x)的解析式：

（Ⅱ）证明：函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（Ⅲ）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

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1
x+b
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