Question

19、已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为e。直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ。

（Ⅰ）证明：λ＝1－e²

（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形。

Answer 1

19．（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是,.

设M的坐标是

所以    

因为点M在椭圆上，所以 

即

  

解得

   （Ⅱ）解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

    设点F₁到l的距离为d，由

    得  

所以

    即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形.

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

设点P的坐标是，

则

由|PF₁|=|F₁F₂|得

两边同时除以4a²，化简得  从而

于是.  

即当时，△PF₁F₂为等腰三角形.