Question

定义在R₊上的函数f（x）对任意实数a，b∈R₊，均有f（ab）=f（a）+f（b）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）
（2）求证：f（x）为减函数．
（3）当f（4）=-2时，解不等式f（x-3）+f（5）≥-1．

Answer 1

（1）由题意令a=b=1得，
f（1×1）=f（1）+f（1），
得f（1）=0．
（2）设x₁，x₂∈R₊，x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
所以f(

x2

x1

)＜0，
故f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f（x₁），
所以f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)＜0，
 所以f（x₂）＜f（x₁），从而f（x）为R₊上的减函数．
（3）由已知f（4）=f（2•2）=f（2）+f（2）=-2，得f（2）=-1，
所以原不等式化为：f（（x-3）•5）≥f（2），
又有（2）的结论可得：

x-3＞0 5＞0 5(x-3)≤2

，
解之得：3＜x≤

17

5

．