Question

已知f（x）=x²+bx+2，x∈R，若方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有两个解x₁，x₂，则b的取值范围为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由f（x）=x²+bx+2，x∈R，f（x）+|x²-1|=2，知x²+bx+|x²-1|=0，设0＜x₁＜x₂＜2，构造函数H（x）=x²+bx+|x²-1|=，由此能求出b的取值范围．
解答：∵f（x）=x²+bx+2，x∈R，f（x）+|x²-1|=2，
∴x²+bx+|x²-1|=0，
不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
令H（x）=x²+bx+|x²-1|=，
因为H（x）在（0，1]上是单调函数，
所以H（x）=0在（0，1]上至多有一个解．
若x₁，x₂∈（1，2），即x₁、x₂就是2x²+bx-1=0的解，
x₁x₂=-＜0，与题设矛盾．
因此，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．由H（x₁）=0得b=-，所以b≤-1；
由H（x₂）=0得b=-2x₂，所以-＜b＜-1．
故选C．
点评：本题考查复合函数的知识，考查二次函数的值域意识，考查方程的根与方程系数之间的关系，求取值范围关键要确定出字母满足的不等式．