Question

圆x²+y²=8内一点P（-1，2）．过点P的直线的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．
（Ⅰ）当α=135°时，求AB的长；（tan135°=-1）
（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）根据题意，直线AB的方程为x+y-1=0，由点到直线的距离公式算出圆心（0，0）到AB的距离，再由垂径定理即可求出弦AB的长；
（II）由圆的几何性质，得弦AB被点P平分时OP与AB互相垂直．因此先算出OP斜率，从而得到AB的斜率，利用直线的点斜式方程列式，即可求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）当α=135°时，k_AB=-1，得直线AB的方程为y-2=-（x+1），（2分）
∴直线AB方程为x+y-1=0．
故圆心（0，0）到AB的距离d=

|0+0-1|

2

=

2

2

，（4分）
从而得到弦长|AB|=2

8- 1 2

=

30

．（6分）
（Ⅱ）∵圆x²+y²=8的圆心为O（0，0），P（-1，2）
∴由直线的斜率公式算出OP的斜率k_op=-2，
又∵弦AB被点P平分，可得OP与AB互相垂直
∴直线AB的斜率kAB=

-1

kOP

=

1

2

，（9分）
因此，直线l的方程为y-2=

1

2

（x+1），化简得x-2y+5=0．（12分）

点评：本题给出直线方程，求直线被圆截得的弦长，并探讨圆的中点弦的问题．着重考查了直线的斜率、点到直线的距离求法和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．