Question

已知α，β∈(0，π)，cos(α-β)=-

2

5

5

，cosβ=-

7 2

10

，则2α-β=（　　）

• A．-

  3π

  4

• B．-

  π

  4

• C．

  π

  4

• D．

  3π

  4

Answer 1

分析：由条件可得 α为锐角、β为钝角，且-π＜α-β＜-

π

2

，sin（α-β）=-

5

5

，sinβ=

2

10

．利用二倍角公式求得 cos2（α-β）的值，利用同角三角函数的基本关系求得
sin2（α-β）的值，再根据cos（2α-β）=cos[2（α-β）+β]，利用两角和的余弦公式求得cos（2α-β） 的值，结合2α-β的范围，求得2α-β的值．

解答：解：∵α，β∈(0，π)，cos(α-β)=-

2

5

5

，cosβ=-

7 2

10

，
∴α为锐角、β为钝角，且-π＜α-β＜-

π

2

，
∴sin（α-β）=-

5

5

，sinβ=

2

10

．
∴cos2（α-β）=2cos²（α-β）-1=2×

20

25

-1=

3

5

，sin2（α-β）=2sin（α-β）cos（α-β）=

4

5

．
∴cos（2α-β）=cos[2（α-β）+β]=cos2（α-β）cosβ-sin2（α-β）sinβ=

3

5

×

-7 2

10

-

4

5

×

2

10

=-

2

2

．
由 α为锐角，且-π＜α-β＜-

π

2

，可得-π＜2α-β＜0，
∴2α-β=-

3π

4

，
故选A．

点评：本题主要考查两角和差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．