Question

（2013•湖州二模）已知函数f（x）=2ax+

1

x

+（2-a）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求函数的极值：先求导数，令导数大于0，小于0求出相应的单调区间，然后即可得到函数的极值；
（2）先由参数范围得到函数在区间[1，3]上的单调性，进而得到函数在[1，3]上的最值，再由存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，及不等式恒成立的条件，就可得到参数m的取值范围．

解答：解：由题可知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2a-

1

x2

+

2-a

x

=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

a(2x-1)(x+ 1 a )

x2

．--------（2分）
（Ⅰ） 当a=-1时，f′(x)=

-(2x-1)(x-1)

x2

，
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

2

或x＞1；
令f'（x）＞0，解得

1

2

＜x＜1，
所以f（x）的单调递减区间是(0 ， 

1

2

)和（1，+∞），单调递增区间是(

1

2

 ， 1)；--（5分）
所以当x=

1

2

时，f（x）的极小值为f(

1

2

)=1-3ln2；
当x=1时，f（x）的极大值为f（1）=-1．--------------------（7分）
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，f（x）的单调递减区间是(0 ， -

1

a

)，(

1

2

 ， +∞)，
单调递增区间是(-

1

a

 ， 

1

2

)，
所以f（x）在[1，3]上单调递减，-----------------------------------（9分）
所以f（x）_max=f（1）=2a+1，f(x)min=f(3)=(2-a)ln3+

1

3

+6a．
所以|f(x1)-f(x2)|max=f(1)-f(3)=(1+2a)-[(2-a)ln3+

1

3

+6a]=

2

3

-4a+(a-2)ln3．------------------------------------------（11分）
因为存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，
所以

2

3

-4a+(a-2)ln3＞(m+ln3)a-2ln3，----------------------（12分）
整理得ma＜

2

3

-4a．
又a＜0，所以m＞

2

3a

-4，又因为-3＜a＜-2，得-

1

3

＜

2

3a

＜-

2

9

，
所以-

13

3

＜

2

3a

-4＜-

38

9

，所以m≥-

38

9

．------------------------（15分）

点评：本题主要考查利用函数的导数求函数的极值问题，与不等式恒成立有关的参数范围问题，需要考生熟悉这一类问题的解题通法．