Question

设y=f(x)是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对x₁、x₂∈（a，b），都有|f(x₁)-f(x₂)|≤|x₁-x₂|，则称y=f(x)是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对k∈R，f(x)=x²+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；
（2）若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对x₁、x₂∈R，|f(x₁)-f(x₂)|≤1．

Answer 1

解：（1），，
若k≥0，则当时，，
从而；
若k＜0，则当时，，
从而，
所以对任意常数k，都不是区间（-1，1）上的平缓函数。
（2）若，
①当时，；
②当时，不妨设，根据f(x)的周期性，f(0)=f(2)，
，
，
所以对，都有，
对，根据f(x)的周期性（且T=-2），
存在，使、，
从而，。