Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）c_n=

n(3-bn)

2

，求c_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在题目给出的递推式中取n=1求出a₁，取n=n+1得到第二个递推式，两式作差后整理即可说明给出的数列是等比数列，则通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a_n代入递推式b_n+1=b_n+a_n，然后利用累加法可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的b_n代入c_n=

n(3-bn)

2

，整理后利用错位相减法求c_n的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2-a_n①
当n=1时，S₁=2-a₁，∴a₁=1．
取n=n+1得：S_n+1=2-a_n+1②
②-①得：S_n+1-S_n=a_n-a_n+1
即a_n+1=a_n-a_n+1，故有2a_n+1=a_n（n=1，2，3，…），
∵a₁=1≠0，∴a_n≠0，∴

an+1

an

=

1

2

（n∈N^*）．
所以，数列{a_n}为首项a₁=1，公比为

1

2

的等比数列．
则a_n=(

1

2

)n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n，∴bn+1-bn=(

1

2

)n-1，
则b2-b1=(

1

2

)0=1，
b3-b2=(

1

2

)1=

1

2

，
b4-b3=(

1

2

)2，
…
bn-bn-1=(

1

2

)n-2．
将以上n-1个等式累加得：
bn-b1=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-2
=

1×[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=2-

1

2n-2

．
∴bn=b1+2-

1

2n-2

=1+2-

1

2n-2

=3-

1

2n-2

．
（Ⅲ）由cn=

n(3-bn)

2

=

n(3-3+ 1 2n-2 )

2

=

n

2n-1

．
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n．
得：Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

③

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

④
③-④得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

．
∴Tn=4-

2+n

2n-1

．

点评：本题考查了由递推式求数列的通项公式，考查了累加法，训练了错位相减法求数列的前n项和，涉及一个等差数列和一个等比数列的积数列，错位相减是求其前n项和重要的方法．此题是中档题．