Question

已知函数f（x）=2n

1+x2

-x在[0，+∞）上最小值是a_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

4

a 2 n +1

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）求导得出f′（x）=2n•

2x

2 1+x2

-1=

2nx

1+x2

-1，利用导数与单调性的关系，得出a_n=f（

1

4n2-1

）=

4n2-1

（2）b_n=

4

a 2 n +1

=

1

n2

，对分母放缩列项和进行证明．

解答：解：（1）f′（x）=2n•

2x

2 1+x2

-1=

2nx

1+x2

-1，由f′（x）=0，得2nx=

1+x2

，两边平方并解出x=

1

4n2-1

，
当x＞

1

4n2-1

时，f′（x）＞0，当0＜x

1

4n2-1

时，f′（x）＜0，所以最小值是a_n=f（

1

4n2-1

）=

4n2-1

（2）b_n=

4

a 2 n +1

=

1

n2

，
当n=1时，b1=1＜

5

3

．
当n=2时，b₁+b₂+=1+

1

4

=

5

4

＜

5

3

当n≥3时，b₁+b₂+…+b_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+

1

(n-1)

-

1

n

=2-

1

n

，
∵

1

n

≥

1

3

，∴2-

1

n

≤2-

1

3

=

5

3

，即当n≥3时不等式也成立．
综上所述，不等式对于任意正整数都成立．

点评：本题考查函数、数列与不等式的综合，考查导数与单调性的关系，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，有一定的难度．