Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1
（Ⅰ）求证：数列{a_n+n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项和前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，变形为a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）即可证明；
（II）利用等比数列的通项公式、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，变形为a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）．
∴数列{a_n+n}是等比数列，其中首项为a₁+1=2，公比为2；
（II）由（I）可得：an+n=2×2n-1，∴an=2n-n．
∴S_n=

2(2n-1)

2-1

-

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2-

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、等比数列与等差数列的前n项和公式，属于中档题．