Question

设a，b∈(0，

π

2

)且cosa=a，sin（cosb）=b则a，b的大小为（　　）

A．a＜b

B．a≤b

C．b＜a

D．b≤a

Answer 1

分析：由a，b∈(0，

π

2

)可得0＜cosa＜1，结合已知可得sin（cosa）=sina，sin（cosb）=b，结合正弦函数的性质可知，sinx＜x对于任意的x∈（0，

1

2

π）都成立，则有sin（cosa）＜cosa=a，sin（cosb）=b，利用反证法证明a，b的大小关系即可

解答：解：∵a，b∈(0，

π

2

)
∴0＜cosa＜1
∵cosa=a，sin（cosb）=b
∴sin（cosa）=sina，sin（cosb）=b
由正弦函数的性质可知，sinx＜x对于任意的x∈（0，

1

2

π）都成立
∴sin（cosa）＜cosa=a，sin（cosb）=b
①假设a=b，则cosa=cosb，sin（cosa）=sin（cosb）与sin（cosa）＜cosa=a=sin（cosb）=b矛盾
②假设a＜b则，0＜cosb＜cosa＜1，
∴sin（cosa）＞sin（cosb）
∵sin（cosa）＜cosa=a，sin（cosb）=b
∴a＞sin（cosa）＞sin（cosb）=b即a＞b矛盾
综上可得假设错误，则a＞b
故选：C

点评：本题主要考查了正弦函数与余弦函数在（0，

1

2

π）的单调性的应用，正弦函数的性质sinx＜x对于任意的x∈（0，

1

2

π）都成立的应用是解决本题的关键，另外还要注意反证法在解决本题中的应用．