Question

（2008•黄浦区一模）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C与BC₁交于O点．
（1）求异面直线AB₁与BC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求证：B₁O⊥平面ABC₁D₁；（3）求二面角B₁-AD₁-O的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：首先分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，再根据题意写出各点的坐标．
（1）求出

AB1

=（0，2a，a），

BC1

=（-a，0，a），再结合向量之间的运算求出两个向量夹角的余弦值，再转化为两条直线的夹角，
（2）由题意可得B₁C⊥BC₁，AB⊥B₁C，再根据线面垂直的判断定理证明线面垂直即可．
（3）分别设出两个平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，求出两个平面的法向量，再根据两个向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角的余弦值，求出答案即可．

解答：解：分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为AB=2a，BC=BB₁=a，B₁C与BC₁交于O点，
所以各点的坐标为：A（a，0，0），B₁（a，2a，a），B（a，2a，0），C₁（0，2a，a），D₁（0，0，a），O（

a

2

，2a，

a

2

），
（1）由以上可得：

AB1

=（0，2a，a），

BC1

=（-a，0，a），
所以cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

| AB1 |  | BC1 |

=

10

10

，
所以异面直线AB₁与BC₁所成角的大小为arccos

10

10

．
（2）因为BC=BB₁，
所以B₁C⊥BC₁，
又因为在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
所以AB⊥B₁C，
因为AB∩BC₁=B，BC₁?平面ABC₁D₁，AB?平面ABC₁D₁，
所以B₁C⊥平面ABC₁D₁，即B₁O⊥平面ABC₁D₁，
所以B₁O⊥平面ABC₁D₁．
（3）设平面B₁AD₁与平面AD₁O的法向量分别为：

v

=(b，c，d)，

n

=(x，y，z)，
由题意可得：

AB1

=（0，2a，a），

AD1

=(-a，0，a)，
所以

v • AB1 =0 v •  AD1 =0

，即

2c+d=0 b=d

，
所以取平面B₁AD₁的法向量

v

=(-1，

1

2

，-1)；
由题意可得：

AO

=(-

a

2

，2a，

a

2

)，

AD1

=(-a，0，a)，
所以

n • AO =0 n • AD1 =0

，即

x-2y-z=0 x=z

，
所以取平面AD₁O的法向量

n

=(1，0，1)，
所以cos＜

n

，

v

＞=

v • n

| v || n |

=-

2 2

3

，
因为二面角B₁-AD₁-O的大小与＜

n

，

v

＞互补，
所以二面角B₁-AD₁-O的余弦值为：

2 2

3

，
所以二面角B₁-AD₁-O的大小为arccos

2 2

3

．

点评：本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角与线线角，解决空间角的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．