Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n且﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，n=1，2，3…

（1）求a₁，a₂

（2）求S_n与S_n﹣1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列．

（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

Answer 1

考点：

等差关系的确定；数列的求和；数列递推式．

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

（1）对已知等式分别取n=1、n=2，解关于a₁、a₂的方程，即可得到a₁，a₂的值．

（2）将a_n=S_n﹣S_n﹣1代入已知等式，化简整理得到S_n=，代入并整理得到=﹣1+，由此即可得到数列{}是以﹣2为首项，公差等于﹣1的等差数列．

（3）由（2）结合等差数列的通项公式，可得S_n=，再分别取n=1、2、3、…、2011代入题中的式子，化简即可得到S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值

解答：

解：（1）∵S_n²﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，

∴取n=1，得S₁²﹣2S₁﹣a₁S₁+1=0，即a₁²﹣2a₁﹣a₁²+1=0，解之得a₁=，

取n=2，得S₂²﹣2S₂﹣a₂S₂+1=0，即（+a₂）²﹣2（+a₂）﹣a₂（+a_2）+1=0，解之得a₂=

（2）由题设S_n²﹣2S_n﹣a_nS_n+1=0，

当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1，代入上式，化简得S_nS_n﹣1﹣2S_n+1=0

∴S_n=，可得S_n﹣1﹣1=﹣1=

∴==﹣1+

∴数列{}是以=﹣2为首项，公差d=﹣1的等差数列．

（3）由（2）得=﹣2+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n﹣1，

可得S_n=1﹣=

∴S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁=×××…××=

即S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值为．

点评：

本题给出数列{a_n}的前n项和S_n与a_n的关系式，求通项公式并证明新的等差数列，着重考查了等差数列的通项公式、数列前n项和S_n与a_n的关系等知识，属于中档题．