Question

设有f（x）=4x⁴-4px³+4qx²+2p（m+1）x+（m+1）²．（p≠0）求证：
（1）如果f（x）的系数满足p²-4q-4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．
（2）如果f（x）与F（x）=（2x²+ax+b）²表示同一个多项式，那么p²-4q-4（m+1）=0．

Answer 1

分析：（1）利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解．
（2）利用多项式相等建立各项系数的相等关系，将无关的系数消掉，建立起字母p，q，m的关系．

解答：证明：（1）
∵m+1=

p2-4q

4

，
∴f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p•

p2-4q

4

x+(

p2-4q

4

)2
=(2x2-px)2-(p2-4q)x2+(2px)•

p2-4q

4

+(

p2-4q

4

)2
=(2x2-px)2-2(2x2-px)•

p2-4q

4

+(

p2-4q

4

)2
=(2x2-px-

p2-4q

4

)2.
∴f（x）等于一个二次三项式的平方
（2）∵4x⁴-4px³+4qx²+2p（m+1）+（m+1）²=（2x²+ax+b）²
=4x⁴-4ax³+（a²+4b）x²+2abx+b²，
∴

-4p=4a(1) 4q=a2+4b(2) 2p(m+1)=2ab(3) (m+1)2=b2(4)

由（1）可得a=-p代入（2）得b=

4q-p2

4

将a，b的表达式代入（3）得2p(m+1)=-2p•

4q-p2

4

，
∴p[p²-4q-4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p²-4q-4（m+1）=0．

点评：本题考查多项式的因式分解，考查待定系数法．注意配方法和分组分解因式的方法．注意多项式相等的转化方法．