Question

椭圆G：(a＞b＞c)的两个焦点为(－c，0)，(c，0)，M是椭圆上一点，且满足．

(1)求离心率e的取值范围；

(2)当离心率e取得最小值时，点N(0，3)到椭圆上的点的最远距离为．①求此时椭圆G的方程．②(只理科作)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问：A、B两点能否关于过点P(0，)，Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设点M的坐标为(x，y)，则．由，得，即，　　　　　　　① 又由点M在椭圆上，得，代入①，得，即． ∵，∴，即，，解得．又∵0＜e＜1，∴． (2)①当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为． 设点H(x，y)是椭圆上的一点，则(－b≤y≤b)，若0＜b＜3，则0＞－b＞－3，当y＝－b时，有最大值，由题意知：，，这与0＜b＜3矛盾，若b≥3，则－b≤－3，当y＝－3时，有最大值，由题意知：，，∴所求椭圆方程为． ②设直线l的方程为y＝kx＋m，代入中，得．由直线l与椭圆G相交于不同的两点知，∴，　　　　　② 要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须．设A()、B()，则，． ∵，∴，．　　　　③ 由②、③，得，∴． 又k≠0，∴． 故当时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．