Question

已知定点F（0，1）和直线l₁：y=-1，过定点F与直线l₁相切的动圆圆心为点C．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若A，B是所求轨迹上的两个点，满足OA⊥OB（0为坐标原点），求证：直线AB经过一个定点．
（3）过点F的直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求

RP

•

RQ

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据点C到点F的距离等于它到l₁的距离，依据抛物线的定义可知点C的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线，进而求得其轨迹方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到结论；
（3）设出直线l₂的方程与抛物线方程联立消去y，设出P，Q的坐标，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而可得点R的坐标，表示出

RP

•

RQ

，根据均值不等式求得其最小值．

解答：（1）解：由题设点C到点F的距离等于它到l₁的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线．
∴所求轨迹的方程为x²=4y．
（2）证明：由已知，设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程x²=4y，并整理得x²-4kx-4b=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，即b²-4b=0，解得，b=4或b=0（舍去），
所以直线AB过定点（0，4）．
（3）解：由题意直线l₂的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立消去y，得x²-4kx-4=0．
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∵直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为（-

2

k

，-1），

RP

•

RQ

=（x₁+

2

k

）（x₂+

2

k

）+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+（

2

k

+2k）（x₁+x₂）+

4

k2

+4
=-4（1+k²）+4k（

2

k

+2k）+

4

k2

+4=4（k²+

1

k2

）+8，
∵k²+

1

k2

≥2，当且仅当k²=1时取到等号．
∴

RP

•

RQ

≥4×2+8=16，即

RP

•

RQ

的最小值为16．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，考查抛物线方程的求解，考查向量知识的运用，属于中档题．