Question

已知，A是抛物线y²=2x上的一动点，过A作圆（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M．N两点，交y轴于B．C两点
（1）当A点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；
（2）当A点坐标为（2，2）时，求直线MN的方程；
（3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由DEFA四点共圆，知EF是圆（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，由此能求出EF的方程．
（2）设AM的方程为y-2=k（x-2），由kx-y+2-2k=0与圆（x-1）²+y²=1相切得=1，由此能求出MN的方程．
（3）设P（x，y），B（0，b），C（0，c），设b＞c，直线PB的方程为y-b=，由圆心（1，0）到PB的距离为1，知=1，故（x-2）b²+2yb-x=0，同理有（x-2）c²+2yc-x=0，故b，c是方程（x-2）t²+2yt-x=0的两个实数根，由此能求出S_△PBC的最小值．
解答：解：（1）∵DEFA四点共圆
EF是圆（x-1）²+y²=1及（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦
∴EF的方程为7x+4y-8=0…（4分）
（2）设AM的方程为y-2=k（x-2）
即kx-y+2-2k=0与圆（x-1）²+y²=1相切得
=1
∴k=，
把y-2=（x-2）代入y²=2x得M（，），而N（2，-2）
∴MN的方程为3x+2y-2=0…（8分）
（3）设P（x，y），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c，
直线PB的方程为y-b=，
即（y-b）x-xy+xb=0
又圆心（1，0）到PB的距离为1，所以=1，故
（y-b）²+x²=（y-b）²+2xb（y-b）+x²+b²
又x＞2，上式化简得（x-2）b²+2yb-x=0
同理有（x-2）c²+2yc-x=0
故b，c是方程（x-2）t²+2yt-x=0的两个实数根
所以b+c=-，bc=-，则（b-c）²=，
因为P（x，y）是抛物线上的点，所以有y²=2x，则
（b-c）²=，b-c=，
∴S_△PBC=（b-c）x==x-2++4≥2+4=8
当（x-2）²=4时，上式取等号，此时x=4，y=±2，
因此S_△PBC的最小值为8…（13分）
点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．